问题 2017S14

依赖于

• 问题 2019S11
• 例 1.18

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017S14

设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是 n 个互异的正实数, 试用两种方法证明: n 阶实对称阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是正定阵, 其中 $a_{ij}=\frac{1}{a_i+a_j}$ .

解答

要证 A 是正定阵, 只要证 A 的 n 个顺序主子式全大于零即可. 注意到每个顺序主子式都与 $|A|$ 有相同的形状, 故只要证明 $|A|>0$ 即可. 由例 1.18 (Cauchy 行列式) 可得 $|A|={\prod }_{1\le i<j\le n}(a_i-a_j{)}^2/{\prod }_{i,j=1}^n(a_i+a_j)>0$, 故结论得证. 另一种证法请参考 问题 2019S11.