第 8 章解答题 1

依赖于

• 例 8.16

被以下题目直接调用

• 无

第 8 章解答题 1

求证：元素全是整数的反对称矩阵的行列式是某个整数的平方。

解答

设 $A$ 是整数反对称矩阵，由例 8.16 可知，存在有理数域上的可逆矩阵 $C$，使得 $C^{\prime }AC$ 为 (8.2) 式所示，则 $|C{|}^2|A|=|C^{\prime }AC|=1$ 或 $0$。因此 $|A|$ 是某个有理数的平方，但整数矩阵的行列式是整数， 故 $|A|$ 必是某个整数的平方。