例 8.65

依赖于

• 例 8.43

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• 无

例 8.65

设 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：$A,B$ 的 Hadamard 乘积

$$H=A\circ B=(a_{ij}{b}_{ij})$$

也是半正定阵。

解答

证法 1 设 $B=C^{\prime }C$，其中 $C$ 为实矩阵，剩余的证明与例 8.43 完全类似。

证法 2 由于对任意的正实数 $t$，$A+t{I}_n,B+t{I}_n$ 都是正定阵，故由例 8.43 可知

$$(A+t{I}_n)\circ (B+t{I}_n)$$

为正定阵。令 $t\to 0+$，即得 $A\circ B$ 为半正定阵。$\square$