例 8.41

依赖于

• 例 3.76

被以下题目直接调用

• 无

例 8.41

设实二次型

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i=1}^k(a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n{)}^2,$$

其中 $a_{ij}$ 都是实数，求证 $f$ 是半正定型且 $f$ 的秩等于下列矩阵的秩：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kn}\end{array}\right).$$

解答

证明 $f$ 的半正定性由定义即得。注意到 $f(x)=(Ax{)}^{\prime }(Ax)=x^{\prime }(A^{\prime }A)x$，故 $f$ 的相伴矩阵为 $A^{\prime }A$，于是由例 3.76 可知，$r(f)=r(A^{\prime }A)=r(A)$。$\square$