例 8.29

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• 例 8.26

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例 8.29

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：

(1) 若 $A$ 可逆，则 $A$ 为正定阵的充要条件是对任意的 $n$ 阶正定实对称矩阵 $B$， $\mathrm{tr}(AB)>0$；

(2) $A$ 为半正定阵的充要条件是对任意的 $n$ 阶半正定实对称矩阵 $B$， $\mathrm{tr}(AB)\ge 0$。

解答

证明 (1) 先证必要性。由例 8.26 可设 $A=C^{\prime }C$，其中 $C$ 为非异实矩阵，则由迹的交换性可得 $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(C^{\prime }CB)=\mathrm{tr}(CB{C}^{\prime })$。 由 $B$ 的正定性可知 $CB{C}^{\prime }$ 为正定阵，故 $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(CB{C}^{\prime })>0$。

再证充分性。用反证法，若可逆实对称矩阵 $A$ 不正定，则存在非异实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }\mathrm{diag}\{I_p,-I_q\}C$，其中负惯性指数 $q>0$。令 $B=C^{-1}\mathrm{diag}\{I_p,c{I}_q\}(C^{-1}{)}^{\prime }$，其中正数 $c>p/q$，则 $B$ 是正定实对称矩阵，且

$$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(C^{\prime }\mathrm{diag}\{I_p,-c{I}_q\}(C^{\prime }{)}^{-1})=\mathrm{tr}(\mathrm{diag}\{I_p,-c{I}_q\})=p-cq<0,$$

这与假设矛盾！

(2) 同理可证，细节留给读者完成。$\square$