例 8.27

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• 例 8.26

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• 无

例 8.27

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维实列向量，证明： ${\alpha }^{\prime }A\alpha +{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\beta \ge 2{\alpha }^{\prime }\beta$，且等号成立的充要条件是 $A\alpha =\beta$。

解答

证明 由例 8.26 可设 $A=C^{\prime }C$，其中 $C$ 为非异实矩阵，则 $A^{-1}=C^{-1}(C^{\prime }{)}^{-1}$。 再设 $C\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\prime }$，$(C^{\prime }{)}^{-1}\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\prime }$ 为 $n$ 维实列向量，则

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^{\prime }A\alpha +{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\beta & ={\alpha }^{\prime }{C}^{\prime }C\alpha +{\beta }^{\prime }{C}^{-1}(C^{\prime }{)}^{-1}\beta \\ & =(C\alpha {)}^{\prime }(C\alpha )+((C^{\prime }{)}^{-1}\beta {)}^{\prime }((C^{\prime }{)}^{-1}\beta )\\ & =\sum _{i=1}^n(a_i^2+b_i^2)\ge 2\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\\ & =2(C\alpha {)}^{\prime }((C^{\prime }{)}^{-1}\beta )=2{\alpha }^{\prime }\beta ,\end{array}$$

等号成立的充要条件是 $a_i=b_i(1\le i\le n)$，即 $C\alpha =(C^{\prime }{)}^{-1}\beta$，也即 $A\alpha =\beta$。$\square$