22 级高代 II 期中 07

依赖于

• 例 7.19
• 例 7.56

被以下题目直接调用

• 无

22 级高代 II 期中 07

设 $A$ 是有理数域上的 $n$ 阶方阵，满足

$$A^3=I_n,A\ne I_n.$$

证明：对任意给定的整数 $m$，存在有理数域上的 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $B$ 相似于 $A$，且 $B$ 的所有元素之和等于 $m$。

解答

由例 7.19 可用有理标准型处理；第一类情形还会用到例 7.56 的证明思路。

由

$$A^3=I_n$$

可知 $A$ 在复数域上可对角化，特征值只能为

$$1,\omega ,{\omega }^2,\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

由于 $A$ 是有理矩阵，非实特征值必须成共轭对出现；又 $A\ne I_n$，所以至少出现一对 $\omega ,{\omega }^2$。故 $A$ 在复数域上相似于

$$\mathrm{diag}(\omega ,{\omega }^2,\dots ,\omega ,{\omega }^2,1,\dots ,1),$$

其中有 $k\ge 1$ 对 $\omega ,{\omega }^2$，以及 $n-2k$ 个 $1$。

令

$$C=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

这是多项式 $x^2+x+1$ 的友阵，并且在复数域上与

$$\mathrm{diag}(\omega ,{\omega }^2)$$

相似。因此 $A$ 与

$$F=\mathrm{diag}(C,\dots ,C,I_{n-2k})$$

在复数域上相似。由于 $A,F$ 都是有理矩阵，它们事实上在 $\mathbb{Q}$ 上相似。也可以直接用例 7.19 的有理标准型得到这一点。

接下来分三种情形。

情形一：$n-2k\ge 1$

此时 $F$ 中既有 $C$ 块，也有 $1$ 特征值块。$C$ 部分与 $I_{n-2k}$ 部分没有公共特征值。沿用例 7.56 的证明方法，可把 $F$ 相似变换为如下形式：

$$B=\left(\begin{array}{cccccc}C& & & & & x\\ & \ddots & & & & \\ & & C& & & \\ & & & 1& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1\end{array}\right).$$

取

$$x=m+3k-n.$$

这样得到的 $B$ 与 $F$ 相似，从而与 $A$ 相似；并且 $B$ 的所有元素之和正好为 $m$。

情形二：$n-2k=0$ 且 $k\ge 2$

此时 $F$ 全由 $C$ 块组成。对 $F$ 作相似初等变换：第一列乘以 $x$ 加到第四列，再将第四行乘以 $-x$ 加到第一行。只看前四行四列，变换效果为

$$\left(\begin{array}{cccc}0& -1& & \\ 1& -1& & \\ & & 0& -1\\ & & 1& -1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}0& -1& -x& x\\ 1& -1& 0& x\\ & & 0& -1\\ & & 1& -1\end{array}\right).$$

令

$$x=m+k.$$

则所得矩阵 $B$ 仍与 $F$ 相似，因而与 $A$ 相似，并且元素总和为 $m$。

情形三：$n=2$ 且 $k=1$

此时 $A$ 相似于友阵 $C$。设

$$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$$

要使 $B$ 与 $C$ 相似，只需让 $B$ 的特征多项式等于

$$x^2+x+1.$$

再加上元素之和为 $m$，得到方程组

$$a+d=-1,ad-bc=1,a+b+c+d=m.$$

化简后可转化为

$$b(b-m-1)-a(a+1)=1,$$

也就是

$${\left(b-\frac{m+1}{2}\right)}^2-{\left(a+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{m^2+2m+4}{4}.$$

取一组有理解：

$$a=\frac{(m+1{)}^2}{4},b=\frac{m^2+4m+7}{4},c=-\frac{m^2+3}{4},d=-\frac{m^2+2m+5}{4}.$$

这时 $B$ 是有理矩阵，与 $C$ 相似，因而与 $A$ 相似；同时 $B$ 的所有元素之和为 $m$。

三种情况覆盖全部可能，命题得证。

参考：谢启鸿高等代数官方博客。