问题 2023S06

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• 例 5.7

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问题 2023S06

设 p 是素数, 求证: 存在有理数域上的 n 阶方阵 A, 满足 $A^{p-1}+\cdots +A+I_n=O$ 的充要条件是 $(p-1)\mid n$ .

解答

先证必要性. 设 n 阶有理方阵 A 适合多项式 $g(x)=x^{p-1}+\cdots +x+1$，由高代教材例 5.7.3 可知 $g(x)$ 是 Q 上的不可约多项式. 再由极小多项式的基本性质可知，A 的极小多项式 $m(x)$ 整除 $g(x)$，故只能是 $m(x)=g(x)$ . 同理可证 A 所有的非常数不变因子都等于 $g(x)$，从而 A 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,g(x),\cdots ,g(x)$ (k 个 $g(x)$). 因此 A 的特征多项式 $f(x)=g(x{)}^k$，于是 $n=\mathrm{deg}f(x)=k(p-1)$，即有 $(p-1)\mid n$ .

再证充分性. 设 $n=k(p-1)$，则由必要性的证明可知，A 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,g(x),\cdots ,g(x)$ (k 个 $g(x)$). 可用有理标准型构造满足条件的矩阵:

$$\mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\mathbf{F}(g(x)),\dots ,\mathbf{F}(g(x))\}(k\text{个 Frobenius 块}\mathbf{F}(g(x))).$$