问题 2021S11

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• 问题 2023S09

问题 2021S11

设 $S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ , $J=\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right)$ .

(1) 证明: J 相似于 $\mathrm{diag}\{S,S,\cdots ,S\}$ ; (2) 设 $A\in M_n(\mathbb{R})$，满足 $A^{\prime }J+JA=O$，证明： $e^{t{A}^{\prime }}J{e}^{tA}=J$; (3) 试求 ${\mathrm{e}}^{tJ}$ .

解答

(1) 设 $e_1,e_2,\cdots ,e_{2n}$ 是 2n 维的标准单位列向量，置换矩阵 $P=(e_1,e_{n+1},e_2,e_{n+2},\cdots ,e_n,e_{2n})$，由