例 7.89

依赖于

• 例 4.8

被以下题目直接调用

• 无

例 7.89

设 $\psi$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\psi$ 在这组基下的表示矩阵为

$$\mathrm{diag}\{J_{r_1}(0),J_{r_2}(0),\cdots ,J_{r_s}(0)\},$$

其中 $J_{r_i}(0)$ 是零特征值的 $r_i$ 阶 Jordan 块。

解答

证明 对 $n$ 进行归纳。当 $n=1$ 时，结论显然成立。设维数小于 $n$ 时结论成立，现证 $n$ 维的情形。 设 $k$ 为正整数，使得 ${\psi }^k=0$，但 ${\psi }^{k-1}\ne 0$，故存在 $v\in V$，使得 ${\psi }^{k-1}(v)\ne 0$。由例 4.8 可知，$v,\psi (v),\cdots ,{\psi }^{k-1}(v)$ 线性无关， 它们生成的子空间记为 $U$。若 $U=V$，则 $\psi$ 在基 $\{{\psi }^{k-1}(v),\cdots ,\psi (v),v\}$ 下的表示矩阵为 $J_n(0)$，结论成立。 以下假设 $U\ne V$，并且 $W$ 是满足 $W\cap U=0$ 的维数最大的 $\psi$-不变子空间，我们来证明 $V=U\oplus W$。一旦得证，对 $W$ 用归纳假设，命题自然成立。用反证法，假设存在 $V$ 中向量 $\alpha \notin U\oplus W$，因为 ${\psi }^k(\alpha )=0$，所以存在正整数 $t$，使得 ${\psi }^t(\alpha )\in U\oplus W$，但 ${\psi }^{t-1}(\alpha )\notin U\oplus W$。令 $\beta ={\psi }^{t-1}(\alpha )$，因为 $\psi (\beta )\in U\oplus W$，故可设 $\psi (\beta )=u+w$，其中 $u\in U,w\in W$，于是

$$0={\psi }^k(\beta )={\psi }^{k-1}(\psi (\beta ))={\psi }^{k-1}(u)+{\psi }^{k-1}(w),$$

从而 ${\psi }^{k-1}(u)=-{\psi }^{k-1}(w)\in U\cap W=0$，即有 ${\psi }^{k-1}(u)=0$。 因为 $u\in U$，故可设

$$u=b_{0}v+b_1\psi (v)+\cdots +b_{k-1}{\psi }^{k-1}(v),$$

从而有 $b_0{\psi }^{k-1}(v)=0$。由于 ${\psi }^{k-1}(v)\ne 0$，故 $b_0=0$，于是

$$u=b_1\psi (v)+\cdots +b_{k-1}{\psi }^{k-1}(v).$$

若令 $x=b_{1}v+b_2\psi (v)+\cdots +b_{k-1}{\psi }^{k-2}(v)$，则 $u=\psi (x)$， 从而 $w=\psi (\beta )-u=\psi (\beta -x)$。因为 $\beta \notin U\oplus W$，故 $\beta -x\notin U\oplus W$，从而有直和 $U\oplus W\oplus L(\beta -x)$。若令 $W^{\prime }=W\oplus L(\beta -x)$，则由 $\psi (\beta -x)=w\in W$ 可知 $W^{\prime }$ 也是 $\psi$-不变子空间。显然 $W^{\prime }$ 的维数大于 $W$ 的维数，这与 $W$ 维数最大的假设矛盾。$\square$