例 7.81

依赖于

• 例 7.78
• 例 7.80

被以下题目直接调用

• 例 7.82

例 7.81

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，求证：

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=I_n.$$

解答

证明 由定义可知

$$\cos A=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{iA}+{\mathrm{e}}^{-iA}),\sin A=\frac{1}{2i}({\mathrm{e}}^{iA}-{\mathrm{e}}^{-iA}).$$

由例 7.78 和例 7.80 可知， ${\mathrm{e}}^{iA}{\mathrm{e}}^{-iA}={\mathrm{e}}^{-iA}{\mathrm{e}}^{iA}={\mathrm{e}}^{iA-iA}=I_n$， $({\mathrm{e}}^{iA}{)}^2={\mathrm{e}}^{2iA}$，$({\mathrm{e}}^{-iA}{)}^2={\mathrm{e}}^{-2iA}$，故

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=\frac{1}{4}({\mathrm{e}}^{2iA}+2I_n+{\mathrm{e}}^{-2iA})-\frac{1}{4}({\mathrm{e}}^{2iA}-2I_n+{\mathrm{e}}^{-2iA})=I_n.\square$$