例 7.78

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例 7.81

例 7.78

求证：若 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 乘法可交换，则 $e^{A} \cdot e^{B} = e^{B} \cdot e^{A}$ 。

解答

证明设 $f (z) = e^{z}$ ，并且

f_{p} (z) = 1 + \frac{1}{1 !} z + \frac{1}{2 !} z^{2} + \dots + \frac{1}{p !} z^{p}

为 $f (z)$ 的部分和，因为 $f (z)$ 的收敛半径为 $+ \infty$ ，所以对任一矩阵 $A$ ， $lim_{p \to \infty} f_{p} (A) = f (A) = e^{A}$ 。由于 $A B = B A$ ，故对任意的正整数 $p, q$ ，成立 $f_{p} (A) f_{q} (B) = f_{q} (B) f_{p} (A)$ 。先固定 $p$ ，令 $q \to \infty$ ，则可得

f_{p} (A) f (B) = f_{p} (A) (q \to \infty lim f_{q} (B)) = q \to \infty lim (f_{p} (A) f_{q} (B)) = q \to \infty lim (f_{q} (B) f_{p} (A)) = (q \to \infty lim f_{q} (B)) f_{p} (A) = f (B) f_{p} (A) .

同理，再对上式令 $p \to \infty$ ，则可得 $f (A) f (B) = f (B) f (A)$ ，即结论成立。 $□$

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