例 7.51

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• 例 7.50

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• 无

例 7.51

求下列 $n(n\ge 2)$ 阶矩阵的 Jordan 标准型：

$$A=\left(\begin{array}{cccccc}c& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ & c& 0& 1& \cdots & 0\\ & & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & \ddots & 1\\ & & & & \ddots & 0\\ & & & & & c\end{array}\right).$$

解答

解 利用例 7.50 的记号和结论，显然 $A=c{I}_n+J^2$。设 $P$ 是可逆矩阵，使得 $P^{-1}{J}^{2}P$ 是 $J^2$ 的 Jordan 标准型，则 $P^{-1}AP=c{I}_n+P^{-1}{J}^{2}P$ 就是 $A$ 的 Jordan 标准型。具体地，当 $n=2m$ 时，$A$ 的 Jordan 标准型是 $\mathrm{diag}\{J_m(c),J_m(c)\}$；当 $n=2m+1$ 时，$A$ 的 Jordan 标准型是 $\mathrm{diag}\{J_m(c),J_{m+1}(c)\}$。$\square$