例 7.50

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• 例 7.51

例 7.50

设 $J=J_n(0)$ 是特征值为零的 $n(n\ge 2)$ 阶 Jordan 块，求 $J^2$ 的 Jordan 标准型。

解答

解 显然 $J^2$ 的特征值全为 $0$ 且 $r(J^2)=n-2$，于是特征值 $0$ 的几何重数等于 $2$， 从而有两个 Jordan 块。接下去计算 $J^2$ 的极小多项式，注意到 $J^n=O,J^{n-1}\ne O$。

(1) 当 $n=2m$ 时，${\lambda }^m$ 是 $J^2$ 的极小多项式，于是 $J^2$ 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,{\lambda }^m,{\lambda }^m$，因此 $J^2$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{J_m(0),J_m(0)\}$。

(2) 当 $n=2m+1$ 时，${\lambda }^{m+1}$ 是 $J^2$ 的极小多项式，于是 $J^2$ 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,{\lambda }^m,{\lambda }^{m+1}$，因此 $J^2$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{J_m(0),J_{m+1}(0)\}$。

另外，也可以用行列式因子的讨论来替代几何重数的讨论。注意到 $\lambda I_n-J^2$ 的右上角有一个 $n-2$ 阶子式等于 $(-1{)}^{n-2}$，故 $J^2$ 的 $n-2$ 阶行列式因子为 $1$，从而前 $n-2$ 个不变因子都是 $1$，后面再用极小多项式的讨论即可得到结论。$\square$