例 7.30

依赖于

• 例 7.26

被以下题目直接调用

• 无

例 7.30

设数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_1& 0& \cdots & 0\\ & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & \ddots & \ddots & 0\\ \ast & & & \ddots & b_{n-1}\\ & & & & a_n\end{array}\right),$$

其中 $b_1,\cdots ,b_{n-1}$ 均不为零。记 $C(A)=\{X\in M_n(K)\mid AX=XA\}$，证明：线性空间 $C(A)$ 的一组基为 $\{I_n,A,\cdots ,A^{n-1}\}$。

解答

证明 题目中的 $A$ 是类下三角矩阵，主次对角元全部非零，比如 Frobenius 块、Jordan 块和三对角矩阵都满足这样的特点。考虑特征矩阵 $\lambda I_n-A$ 的前 $n-1$ 行、 后 $n-1$ 列构成的下三角行列式，其值为 $(-1{)}^{n-1}{b}_1\cdots b_{n-1}\ne 0$，故 $A$ 的行列式因子组为 $1,\cdots ,1,f(\lambda )$，从而 $K^n$ 是关于 $A$ 的循环空间，再由例 7.26 即得结论。$\square$