例 7.19

依赖于

• 例 7.10

被以下题目直接调用

• 例 7.20

例 7.19

设数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的初等因子组为

$$P_1(\lambda {)}^{r_1},P_2(\lambda {)}^{r_2},\cdots ,P_k(\lambda {)}^{r_k},$$

证明：$A$ 相似于分块对角矩阵

$$\begin{array}{rl}\tilde{F}& =\mathrm{diag}\{F(P_1(\lambda {)}^{r_1}),F(P_2(\lambda {)}^{r_2}),\cdots ,F(P_k(\lambda {)}^{r_k})\},\\ \tilde{C}& =\mathrm{diag}\{C(P_1(\lambda {)}^{r_1}),C(P_2(\lambda {)}^{r_2}),\cdots ,C(P_k(\lambda {)}^{r_k})\},\end{array}$$

称为 $A$ 的基于初等因子组的有理标准型。

解答

证明 由 Frobenius 块和友阵的性质可知，$\lambda I_n-\tilde{F}$ 和 $\lambda I_n-\tilde{C}$ 都相抵于

$$\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,P_1(\lambda {)}^{r_1};1,\cdots ,1,P_2(\lambda {)}^{r_2};\cdots ;1,\cdots ,1,P_k(\lambda {)}^{r_k}\},$$

再由例 7.10 可知，$\tilde{F},\tilde{C}$ 与 $A$ 有相同的初等因子组，从而它们相似。$\square$