20 级高代 I 期中 05

依赖于

• 例 6.13

被以下题目直接调用

• 无

20 级高代 I 期中 05

设 $A$ 是不可逆的 $n$ 阶复方阵。证明：至多只有两个复数 $\lambda$ 使得

$$\lambda I_n+A^{\ast }$$

不可逆。

解答

由例 6.13 可知：若 $A$ 的全体特征值为

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n,$$

则伴随阵 $A^{\ast }$ 的特征值为

$$\prod _{j\ne 1}{\lambda }_j,\prod _{j\ne 2}{\lambda }_j,\dots ,\prod _{j\ne n}{\lambda }_j.$$

证明如下。

因为 $A$ 不可逆，

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=0.$$

因此至少有一个特征值为 $0$。不妨设

$${\lambda }_1=0.$$

由例 6.13，$A^{\ast }$ 的特征值是上面那些去掉一个因子的乘积。除

$$\prod _{j\ne 1}{\lambda }_j$$

以外，其余乘积都包含因子 ${\lambda }_1=0$，所以全部等于 $0$。于是 $A^{\ast }$ 的不同特征值最多只有两个：

$$\prod _{j\ne 1}{\lambda }_j,0.$$

矩阵 $\lambda I_n+A^{\ast }$ 不可逆，当且仅当 $-\lambda$ 是 $A^{\ast }$ 的特征值。因此这样的 $\lambda$ 最多也只有两个。

参考：谢启鸿高等代数官方博客。