问题 2023S02

依赖于

• 例 3.32
• 例 6.101

被以下题目直接调用

• 问题 2023S04

问题 2023S02

设 $V=M_n(\mathbb{C})$ 是 n 阶复方阵全体构成的集合. 将 V 看成是实线性空间, V 上的线性变换 $\phi$ 定义为 $\phi (X)=J\overline{X}{J}^{\prime }$ , 其中 J 是基础循环矩阵 (例 2.1), $\overline{X}$ 是 X 的共轭. 试求 $\phi$ 的表示矩阵的全体复特征值.

解答

由例 3.32 的注, 可取 $V_R$ 的一组基

$$\left\{\begin{array}{c}{E}_{11},E_{12},\cdots ,E_{1n};\cdots ;E_{n1},E_{n2},\cdots ,E_{nn};\\ \mathrm{i}{E}_{11},\mathrm{i}{E}_{12},\cdots ,\mathrm{i}{E}_{1n};\cdots ;\mathrm{i}{E}_{n1},\mathrm{i}{E}_{n2},\cdots ,\mathrm{i}{E}_{nn}\end{array}\right\},$$

其中 $E_{ij}$ 是 n 阶基础矩阵. 若约定 $E_{0j}=E_{nj},E_{i0}=E_{in}$ , 则有

$$\phi ({\mathbf{E}}_{ij})=\mathbf{J}\overline{{\mathbf{E}}_{ij}}{\mathbf{J}}^{\prime }=\mathbf{J}{\mathbf{E}}_{ij}{\mathbf{J}}^{\prime }={\mathbf{E}}_{i-1,j-1},$$ $$\phi (\mathrm{i}{\mathbf{E}}_{ij})=\mathbf{J}\overline{(\mathrm{i}{\mathbf{E}}_{ij})}{\mathbf{J}}^{\prime }=-\mathbf{J}(\mathrm{i}{\mathbf{E}}_{ij}){\mathbf{J}}^{\prime }=-\mathrm{i}{\mathbf{E}}_{i-1,j-1}.$$

由上式可得 $\phi$ 在上述基下的表示矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cc}S& O\\ O& -S\end{array}\right)$ , 其中

$$S=\left(\begin{array}{cccc}& J& & \\ & & \ddots & \\ & & & J\\ J& & & \end{array}\right).$$

先来计算 S 的特征值．依次利用第 $(i,i)$ 分块 $\lambda I$ 和第三类分块初等列变换消去第 $(i,i+1)$ 分块 $-J(i=1,2,\cdots ,n-1)$，可得

$$|\lambda I-S|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda I& -J& & \\ & \lambda I& \ddots & \\ & & \ddots & -J\\ -J& & & \lambda I\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda I& & & \\ & \lambda I& & \\ & & \ddots & \\ -J& -{\lambda }^{-1}{J}^2& \dots & \lambda I-{\lambda }^{-(n-1)}{J}^n\end{array}\right|.$$

注意到 $J^n=I$ , 故 $|\lambda I-S|=|\lambda I{|}^{n-1}|\lambda I-{\lambda }^{-(n-1)}I|=({\lambda }^n-1{)}^n$. 根据上面的计算过程可知, 这个等式只对 $\lambda \ne 0$ 时成立, 但等式两边都是关于 $\lambda$ 的多项式, 因此当 $\lambda =0$ 时, 等式也成立. 同理可得 $|\lambda I+S|=({\lambda }^n-(-1{)}^n{)}^n$ , 于是

$$|\lambda I-A|=|\lambda I-S||\lambda I+S|=({\lambda }^n-1{)}^n({\lambda }^n-(-1{)}^n{)}^n.$$

(1) 当 $n$ 为奇数时, $|\lambda I-A|=({\lambda }^{2n}-1{)}^n$ , 因此 $A$ 的全体特征值为 ${\mathrm{e}}^{\frac{k\pi \mathrm{i}}{n}}$ ($n$ 重), $0\le k\le 2n-1$ . (2) 当 $n$ 为偶数时, $\left|\lambda I-A\right|=({\lambda }^n-1{)}^{2n}$ , 因此 $A$ 的全体特征值为 ${\mathrm{e}}^{\frac{2k\pi \mathrm{i}}{n}}$ (2n 重), $0\le k\le n-1$ .

也可以用 Kronecker 积来求特征值. 事实上, $S=J\otimes J$ , 又 $J$ 的全体特征值为 $n$ 次单位根 ${\mathrm{e}}^{\frac{2k\pi \mathrm{i}}{n}}(0\le k\le n-1)$ , 故由例 6.101 可知, $S=J\otimes J$ 的全体特征值为 ${\mathrm{e}}^{\frac{2(k+l)\pi \mathrm{i}}{n}}(0\le k,l\le n-1)$ . 因此, $A$ 的全体特征值为 $\pm {\mathrm{e}}^{\frac{2(k+l)\pi \mathrm{i}}{n}}(0\le k,l\le n-1)$.