第 6 章解答题 2

依赖于

• 例 1.4

被以下题目直接调用

• 无

第 6 章解答题 2

求下列 $n$ 阶矩阵的特征值：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}a& b_1& \cdots & b_{n-1}\\ c_1& a& & \\ ⋮& & \ddots & \\ c_{n-1}& & & a\end{array}\right).$$

解答

注意到 $|\lambda I_n-A|$ 是一个爪型行列式，故由例 1.4 可得

$$|\lambda I_n-A|=(\lambda -a{)}^{n-2}\left((\lambda -a{)}^2-\sum _{i=1}^{n-1}{b}_i{c}_i\right),$$

于是 $A$ 的特征值为 $a(n-2\text{ 重})$， $a\pm \sqrt{{\sum }_{i=1}^{n-1}{b}_i{c}_i}$。