例 6.93

依赖于

• 例 6.84
• 例 5.78

被以下题目直接调用

• 无

例 6.93

设 $\phi$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换，又有两个复系数多项式：

$$f(x)=x^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_m,g(x)=x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n.$$

设 $\sigma =f(\phi ),\tau =g(\phi )$，矩阵 $C$ 是 $f(x)$ 的友阵，即

$$C=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& -a_m\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& -a_{m-1}\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& -a_{m-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -a_1\end{array}\right).$$

若 $g(C)$ 是可逆矩阵，求证：

$$\mathrm{Ker}\sigma \tau =\mathrm{Ker}\sigma \oplus \mathrm{Ker}\tau .$$

解答

证明 经计算可知 $C$ 的特征多项式就是 $f(x)$，故由例 6.84 可得 $(f(x),g(x))=1$，再由例 5.78 完全类似的证明可知结论成立。$\square$