例 6.76

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 6.78

例 6.76

求证： (1) 相似的矩阵具有相同的极小多项式； (2) 矩阵及其转置有相同的极小多项式。

解答

证明 (1) 设矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $B=P^{-1}AP$。设 $A$ 的极小 多项式为 $m(x)$，$B$ 的极小多项式为 $n(x)$，注意到 $m(B)=m(P^{-1}AP)=P^{-1}m(A)P=O$，因此 $n(x)\mid m(x)$。同理可证 $m(x)\mid n(x)$，故 $m(x)=n(x)$。

(2) 设 $A$ 的极小多项式是 $m(x)$，转置 $A^{\prime }$ 的极小多项式是 $n(x)$。将 $m(A)=O$ 转置可得 $m(A^{\prime })=O$，因此 $n(x)\mid m(x)$。同理可证 $m(x)\mid n(x)$，故 $m(x)=n(x)$。$\square$