例 6.70

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• 例 6.71

例 6.70

设 $m$ 阶矩阵 $A$ 与 $n$ 阶矩阵 $B$ 没有公共的特征值，且 $A,B$ 均可对角化， 又 $C$ 为 $m\times n$ 矩阵，求证：

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)$$

也可对角化。

解答

证明 任取 $A$ 的特征值 ${\lambda }_0$，记其代数重数为 $m_A({\lambda }_0)$，几何重数为 $t_A({\lambda }_0)$。首先注意到 $A,B$ 没有公共的特征值，故 ${\lambda }_0$ 不是 $B$ 的 特征值，又 $|\lambda I-M|=|\lambda I-A||\lambda I-B|$，从而 $m_M({\lambda }_0)=m_A({\lambda }_0)$。由于 ${\lambda }_{0}I-B$ 是非异阵，故有如下分块矩阵的 初等变换：

$${\lambda }_{0}I-M=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}I-A& -C\\ O& {\lambda }_{0}I-B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}I-A& O\\ O& {\lambda }_{0}I-B\end{array}\right).$$

因为矩阵的秩在分块初等变换下不变，故由矩阵秩的等式可得

$$r({\lambda }_{0}I-M)=r({\lambda }_{0}I-A)+r({\lambda }_{0}I-B)=r({\lambda }_{0}I-A)+n,$$

于是

$$t_M({\lambda }_0)=(m+n)-r({\lambda }_{0}I-M)=m-r({\lambda }_{0}I-A)=t_A({\lambda }_0).$$

因为 $A$ 可对角化，所以 $A$ 有完全的特征向量系，从而 $m_A({\lambda }_0)=t_A({\lambda }_0)$，于是 $m_M({\lambda }_0)=t_M({\lambda }_0)$。 同理可证，对 $B$ 的任一特征值 ${\mu }_0$，成立 $m_M({\mu }_0)=t_M({\mu }_0)$。因此 $M$ 有完全 的特征向量系，从而可对角化。$\square$