例 6.6

依赖于

• 例 1.23

被以下题目直接调用

• 无

例 6.6

求下列 $n$ 阶矩阵的特征值：

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& a& \cdots & a& a\\ b& 0& \cdots & a& a\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ b& b& \cdots & 0& a\\ b& b& \cdots & b& 0\end{array}\right).$$

解答

解 若 $a=0$ 或 $b=0$，则 $A$ 是主对角元全为零的下三角或上三角矩阵，故 $A$ 的特征值全为零。 下设 $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$，则由例 1.23 可知：

若 $a\ne b$，则

$$|\lambda I_n-A|=\frac{a(\lambda +b{)}^n-b(\lambda +a{)}^n}{a-b}.$$

设 $\frac{b}{a}$ 的 $n$ 次方根为 ${\omega }_i(1\le i\le n)$，则 $A$ 的特征值为

$$\frac{a{\omega }_i-b}{1-{\omega }_i}(1\le i\le n).$$

若 $a=b$，则

$$|\lambda I_n-A|=(\lambda -(n-1)a)(\lambda +a{)}^{n-1},$$

从而 $A$ 的特征值为 $(n-1)a$（$1$ 重），$-a$（$n-1$ 重）。$\square$