例 6.46

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• 例 6.61

例 6.46

设 $A=\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 是分块对角矩阵，其中 $A_i$ 都是方阵，求证：$\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 相似于 $\mathrm{diag}\{A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_m}\}$，其中 $A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_m}$ 是 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 的一个排列。

解答

证明 对换 $A$ 的第 $i$ 分块行与第 $j$ 分块行，再对换第 $i$ 分块列与第 $j$ 分块列，这是一个相似变换，变换的结果是将 $A$ 的第 $(i,i)$ 分块和第 $(j,j)$ 分块交换了位置。又任一排列都可以通过若干次对换来实现，因此 $\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 和 $\mathrm{diag}\{A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_m}\}$ 相似。$\square$