例 6.28

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• 例 6.24

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例 6.28

设 $n(n\ge 3)$ 阶非异实方阵 $A$ 的特征值都是实数，且 $A$ 的 $n-1$ 阶主子式之和等于零。证明：存在 $A$ 的一个 $n-2$ 阶主子式，其符号与 $|A|$ 的符号相反。

解答

证明 设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，由 $A$ 非异可知它们都是非零实数。再由条件和例 6.24 可知

$$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_{n-1}\le n}{\lambda }_{i_1}{\lambda }_{i_2}\cdots {\lambda }_{i_{n-1}}=0.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

将 (6.1) 式左边除以 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ 可得

$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\lambda }_i}=0.\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

将 (6.2) 式左边平方，并将平方项移到等式的右边可得

$$\sum _{1\le i<j\le n}\frac{1}{{\lambda }_i{\lambda }_j}=-\frac{1}{2}\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\lambda }_i^2}\right)<0.\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

将 (6.3) 式两边同时乘以 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ 可得

$$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_{n-2}\le n}{\lambda }_{i_1}{\lambda }_{i_2}\cdots {\lambda }_{i_{n-2}}=-\frac{1}{2}\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\lambda }_i^2}\right)|A|.\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

由 (6.4) 式和例 6.24 可得

$$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_{n-2}\le n}A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_{n-2}\\ i_1& i_2& \cdots & i_{n-2}\end{array}\right)=-\frac{1}{2}\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\lambda }_i^2}\right)|A|,$$

于是 $A$ 的 $n-2$ 阶主子式之和与 $|A|$ 的符号相反，从而至少存在 $A$ 的一个 $n-2$ 阶主子式， 其符号与 $|A|$ 的符号相反。$\square$