例 6.20

依赖于

• 例 6.19

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• 无

例 6.20

设 $\alpha$ 是 $n$ 维实列向量且 ${\alpha }^{\prime }\alpha =1$，试求矩阵 $I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$ 的特征值。

解答

解 设 $A=I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$，则由例 6.19 可得

$$|\lambda I_n-A|=|(\lambda -1)I_n+2\alpha {\alpha }^{\prime }|=(\lambda -1{)}^{n-1}(\lambda -1+2{\alpha }^{\prime }\alpha )=(\lambda -1{)}^{n-1}(\lambda +1).$$

因此，矩阵 $A$ 的特征值为 $1$（$n-1$ 重），$-1$（$1$ 重）。$\square$