例 5.78

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 6.93
• 例 6.94

例 5.78

设 $f(x),g(x)$ 是数域 $K$ 上的互素多项式，$\phi$ 是 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $f(\phi )g(\phi )=0$，证明： $V=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1=\mathrm{Ker}f(\phi )$，$V_2=\mathrm{Ker}g(\phi )$。

解答

证明 根据假设，存在 $K$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，使得

$$f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.$$

在上式中代入 $x=\phi$，可得恒等式

$$f(\phi )u(\phi )+g(\phi )v(\phi )=I_V.$$

对任意的 $\alpha \in V$，由上式可得

$$\alpha =f(\phi )u(\phi )(\alpha )+g(\phi )v(\phi )(\alpha ),$$

注意到 $f(\phi )u(\phi )(\alpha )\in \mathrm{Ker}g(\phi )$， $g(\phi )v(\phi )(\alpha )\in \mathrm{Ker}f(\phi )$，故有 $V=V_1+V_2$。任取 $\beta \in V_1\cap V_2$，由上式可得

$$\beta =u(\phi )f(\phi )(\beta )+v(\phi )g(\phi )(\beta )=0,$$

故有 $V_1\cap V_2=0$，因此 $V=V_1\oplus V_2$。$\square$