例 5.7

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问题 2023S06

例 5.7

设 $d (x)$ 是 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{m} (x)$ 的最大公因式，求证：必存在多项式 $g_{1} (x), g_{2} (x), \dots, g_{m} (x)$ ，使得
$f_{1} (x) g_{1} (x) + f_{2} (x) g_{2} (x) + \dots + f_{m} (x) g_{m} (x) = d (x) .$

解答

证明用数学归纳法。对 $m = 2$ ，结论已成立。设结论对 $m - 1$ 成立。设 $h (x)$ 是 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{m - 1} (x)$ 的最大公因式，则有 $g_{1} (x), g_{2} (x), \dots, g_{m - 1} (x)$ ，使得

f_{1} (x) g_{1} (x) + f_{2} (x) g_{2} (x) + \dots + f_{m - 1} (x) g_{m - 1} (x) = h (x) .

容易验证 $d (x)$ 是 $h (x)$ 和 $f_{m} (x)$ 的最大公因式，故存在 $u (x), v (x)$ ，使得

h (x) u (x) + f_{m} (x) v (x) = d (x) .

将 $h (x)$ 代入可得

f_{1} (x) g_{1} (x) u (x) + f_{2} (x) g_{2} (x) u (x) + \dots + f_{m - 1} (x) g_{m - 1} (x) u (x) + f_{m} (x) v (x) = d (x),

即知结论成立。 $□$

推论数域 $F$ 上的多项式 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{m} (x)$ 互素的充要条件是存在 $F$ 上的多项式 $g_{1} (x), g_{2} (x), \dots, g_{m} (x)$ ，使得

f_{1} (x) g_{1} (x) + f_{2} (x) g_{2} (x) + \dots + f_{m} (x) g_{m} (x) = 1.

下面几个例题是应用互素多项式性质的例子。

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