例 5.69

依赖于

无显式依赖

被以下题目直接调用

例 5.74

例 5.69

求证： $R (f, g_{1} g_{2}) = R (f, g_{1}) R (f, g_{2})$ 。

解答

证明设 $f (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ ，其 $n$ 个根为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 。又设 $g_{1} (x)$ 和 $g_{2} (x)$ 分别是 $m_{1}, m_{2}$ 次多项式，则

R (f, g_{1}) R (f, g_{2}) R (f, g_{1} g_{2}) = a_{0}^{m_{1}} g_{1} (x_{1}) g_{1} (x_{2}) \dots g_{1} (x_{n}), = a_{0}^{m_{2}} g_{2} (x_{1}) g_{2} (x_{2}) \dots g_{2} (x_{n}), = a_{0}^{m_{1} + m_{2}} g_{1} (x_{1}) g_{2} (x_{1}) g_{1} (x_{2}) g_{2} (x_{2}) \dots g_{1} (x_{n}) g_{2} (x_{n}) .

比较上面 $3$ 个等式即知结论成立。 $□$

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