例 5.6

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 5.79

例 5.6

设 $f(x),g(x)$ 是次数不小于 1 的互素多项式，求证：必唯一地存在两个多项式 $u(x),v(x)$，使得

$$f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,$$

且 $\mathrm{deg}u(x)<\mathrm{deg}g(x),\mathrm{deg}v(x)<\mathrm{deg}f(x)$。

解答

证明 先证存在性。因为 $(f(x),g(x))=1$，故必存在 $h(x),k(x)$，使得

$$f(x)h(x)+g(x)k(x)=1.$$

若 $h(x)$ 的次数大于等于 $g(x)$ 的次数，由带余除法，有

$$h(x)=g(x)q(x)+u(x),\mathrm{deg}u(x)<\mathrm{deg}g(x).$$

代入前式得

$$f(x)(g(x)q(x)+u(x))+g(x)k(x)=1,$$

即有

$$f(x)u(x)+g(x)(f(x)q(x)+k(x))=1.$$

令 $v(x)=f(x)q(x)+k(x)$，则 $\mathrm{deg}v(x)<\mathrm{deg}f(x)$，否则由比较次数可知，上式将不可能成立。

再证唯一性。设另有 $u_1(x),v_1(x)$ 适合条件，即

$$f(x)u_1(x)+g(x)v_1(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,$$

则

$$f(x)(u(x)-u_1(x))=g(x)(v_1(x)-v(x)).$$

因为 $g(x)$ 和 $f(x)$ 互素，上式表明 $g(x)\mid (u(x)-u_1(x))$。但 $u(x)-u_1(x)$ 的次数小于 $g(x)$ 的次数，所以只可能 $u(x)-u_1(x)=0$，即 $u(x)=u_1(x)$。这时 $v(x)=v_1(x)$。$\square$