例 5.32

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 5.33

例 5.32

设三次方程 $x^3+p{x}^2+qx+r=0(r\ne 0)$ 的 3 个根成等比数列，求证：

$$r{p}^3=q^3.$$

解答

证明 设方程的 3 个根为 $\frac{c}{d},c,cd$，则由 Vieta 定理可得

$$\{\begin{array}{rcl}\frac{c}{d}+c+cd& =& -p,\\ \frac{c^2}{d}+c^2+c^{2}d& =& q,\\ c^3& =& -r.\end{array}$$

由此可得 $r{p}^3=q^3$。$\square$