第 4 章解答题 15
依赖于
被以下题目直接调用
设 A,B 均为 m×n 矩阵，满足 r(A+B)=r(A)+r(B)，证明：存在 m 阶非异阵 P，n 阶非异阵 Q，使得
PAQ=IrOOOOOOOO,PBQ=OOOOIsOOOO.
\repsubsection{4.8.2}{训 练 题 答 案}
解答
代数方法：设 r(A)=r, r(B)=s，则
r(A+B)=r+s，且存在 m 阶非异阵 S，n 阶非异阵 T，使得
SAT=(IrOOO),SBT=(B11B21B12B22),S(A+B)T=(Ir+B11B21B12B22).
因为 r(A+B)=r+s，故删去 S(A+B)T 的前 r 行，可得后 m−r 行的秩必大于等于 s，即
r(B21,B22)≥s。另一方面，我们还有
r(B21,B22)≤r(B)=s，故
r(B21,B22)=r(B)=s，从而
(B21,B22) 的行向量的极大无关组也是 SBT 的行向量组的极大无关组。因此利用 SBT 的后 m−r 行的初等行变换可以消去 SBT 的前 r 行，同理可证利用 SBT 的后 n−r 列的初等列变换可以消去 SBT 的前 r 列，即存在 m 阶非异阵 U，n 阶非异阵 V，使得
USATV=(IrOOO),USBTV=(OOOB22).
此时存在 m−r 阶非异阵 C，n−r 阶非异阵 D，使得
CB22D=(IsOOO)
。令
P=(IrOOC)US,Q=TV(IrOOD),
则 P 为 m 阶非异阵，Q 为 n 阶非异阵，且满足结论。
几何方法：将问题转换成几何的语言：设 V=Kn 为 n 维列向量空间，U=Km 为 m 维列向量空间，φA,φB:V→U 分别是矩阵 A,B 左乘诱导的线性映射，满足
r(φA+φB)=r(φA)+r(φB)，证明：存在 V 的一组基，U 的一组基，使得 φA,φB 在这两组基下的表示矩阵分别是题中的两个矩阵。设
r(A)=r, r(B)=s，则
r(A+B)=r+s。注意到
r(A+B)≤r(BA)≤r(A)+r(B),
因此 r(BA)=r+s，从而
dim(KerφA∩KerφB)=n−(r+s).
由交和空间的维数公式可得
dim(KerφA+KerφB)=(n−r)+(n−s)−(n−r−s)=n,
故有 V=KerφA+KerφB。另一方面，注意到
r(A+B)=dimIm(φA+φB)≤dim(ImφA+ImφB)≤dimImφA+dimImφB=r(A)+r(B),
因此
Im(φA+φB)=ImφA+ImφB=ImφA⊕ImφB.
取 KerφA∩KerφB 的一组基
{er+s+1,⋯,en}，将其扩张为 KerφA 的一组基
{er+1,⋯,en}，再将其扩张为 KerφB 的一组基
{e1,⋯,er,er+s+1,⋯,en}。根据教材 [1] 的定理 3.9.2（交和空间维数公式）的证明可知，{e1,⋯,en} 恰好是
V=KerφA+KerφB 的一组基。又由例 4.23 的证明可知，Ae1,⋯,Aer 是 ImφA 的一组基，Ber+1,⋯,Ber+s 是 ImφB 的一组基。注意到
Ae1,⋯,Aer,Ber+1,⋯,Ber+s 线性无关，故可扩张为 U 的一组基
Ae1,⋯,Aer,Ber+1,⋯,Ber+s,fr+s+1,⋯,fm。最后容易验证 φA,φB 在 V 的一组基
e1,⋯,en 和 U 的一组基
Ae1,⋯,Aer,Ber+1,⋯,Ber+s,fr+s+1,⋯,fm 下的表示矩阵即为所要求的矩阵。
评论
支持 Markdown 和 LaTeX 数学公式。