例 4.8

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 4.9
• 例 7.89

例 4.8

设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\alpha \in V$。若 ${\phi }^{m-1}(\alpha )\ne 0$，而 ${\phi }^m(\alpha )=0$，求证：$\alpha ,\phi (\alpha ),{\phi }^2(\alpha ),\cdots ,{\phi }^{m-1}(\alpha )$ 线性无关。

解答

证明 设有 $m$ 个数 $a_0,a_1,\cdots ,a_{m-1}$，使得

$$a_0\alpha +a_1\phi (\alpha )+\cdots +a_{m-1}{\phi }^{m-1}(\alpha )=0.$$

上式两边同时作用 ${\phi }^{m-1}$，则有 $a_0{\phi }^{m-1}(\alpha )=0$，由于 ${\phi }^{m-1}(\alpha )\ne 0$，故 $a_0=0$。上式两边同时作用 ${\phi }^{m-2}$，则有 $a_1{\phi }^{m-1}(\alpha )=0$，由于 ${\phi }^{m-1}(\alpha )\ne 0$，故 $a_1=0$。不断这样做下去，最后可得 $a_0=a_1=\cdots =a_{m-1}=0$，于是 $\alpha ,\phi (\alpha ),{\phi }^2(\alpha ),\cdots ,{\phi }^{m-1}(\alpha )$ 线性无关。$\square$