例 4.49

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• 例 4.48

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• 无

例 4.49

设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶幂零阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，满足 $AB=BA$ 且 $r(AB)=r(B)$，求证：$B=O$。

解答

证明 将 $A,B$ 都看成是 $K^n$ 上的线性变换，设 $A^k=O$，其中 $k$ 为正整数。由 $AB=BA$ 以及例 4.48 可知 $\mathrm{Im}B$ 是 $A$-不变子空间。考虑 $A$ 在 $\mathrm{Im}B$ 上的限制 $A{|}_{\mathrm{Im}B}$，其像空间的维数 $\dim AB(K^n)=r(AB)=r(B)=\dim \mathrm{Im}B$，故 $A{|}_{\mathrm{Im}B}$ 是 $\mathrm{Im}B$ 上的满线性变换。于是 $(A{|}_{\mathrm{Im}B}{)}^k=A^k{|}_{\mathrm{Im}B}=O{|}_{\mathrm{Im}B}$ 也是 $\mathrm{Im}B$ 上的满线性变换，从而只能是 $\mathrm{Im}B=0$，即 $B=O$。$\square$