例 4.48

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 4.49

例 4.48

设 $\phi ,\psi$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换且 $\phi \psi =\psi \phi$，求证：$\mathrm{Im}\phi$ 及 $\mathrm{Ker}\phi$ 都是 $\psi$ 的不变子空间。

解答

证明 任取 $v\in \mathrm{Im}\phi$，即 $v=\phi (u)$，则 $\psi (v)=\psi \phi (u)=\phi \psi (u)\in \mathrm{Im}\phi$，即 $\mathrm{Im}\phi$ 是 $\psi$ 的不变子空间。

任取 $v\in \mathrm{Ker}\phi$，即 $\phi (v)=0$，则 $\phi \psi (v)=\psi \phi (v)=0$。因此，$\psi (v)\in \mathrm{Ker}\phi$，即 $\mathrm{Ker}\phi$ 是 $\psi$ 的不变子空间。$\square$