例 4.44

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• 第 4 章解答题 7

例 4.44

利用上题证明：若 $A,B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上两个 $n$ 阶方阵，则

$$r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}.$$

解答

证明 令 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维列向量空间，则 $A$ 和 $B$ 可看成是 $V$ 上的线性变换。又令 $U=B(V)$，注意到 $A(U)=AB(V)$，故 $\dim A(U)=r(AB)$，$\dim \mathrm{Ker}A=n-r(A)$，即线性方程组 $Ax=0$ 的解空间维数。而 $\dim U=\dim B(V)=r(B)$，由上题中 (1) 的结论，可得

$$r(A)+r(B)-n\le r(AB).$$

又显然有 $\dim A(U)\le \dim A(V)$，故得 $r(AB)\le r(A)$。从 $\dim A(U)\le \dim U$ 可得 $r(AB)\le r(B)$。$\square$