例 4.41

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• 例 4.23

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• 无

例 4.41

设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的满线性映射，求证：必存在 $V$ 的子空间 $W$，使得 $V=W\oplus \mathrm{Ker}\phi$，且 $\phi$ 在 $W$ 上的限制是 $W$ 到 $U$ 上的线性同构。

解答

证法 1 取 $\mathrm{Ker}\phi$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_k$，并将其扩张为 $V$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_k,e_{k+1},\cdots ,e_n$。令 $W=L(e_{k+1},\cdots ,e_n)$，则显然 $V=W\oplus \mathrm{Ker}\phi$。由例 4.23 的证明可知，$\phi (e_{k+1}),\cdots ,\phi (e_n)$ 是 $\mathrm{Im}\phi =U$ 的一组基，故 $\phi$ 在 $W$ 上的限制将 $W$ 的一组基 $e_{k+1},\cdots ,e_n$ 映射为 $U$ 的一组基 $\phi (e_{k+1}),\cdots ,\phi (e_n)$，从而必为线性同构。

证法 2 取 $W$ 为 $\mathrm{Ker}\phi$ 在 $V$ 中的补空间。对任意的 $u\in U$，由于 $\phi$ 是映上的，故存在 $v=w+v_1$，其中 $w\in W,v_1\in \mathrm{Ker}\phi$，使得 $u=\phi (v)=\phi (w)$，于是 $\phi$ 在 $W$ 上的限制也是映上的。另一方面，由维数公式可知，$\dim W=\dim V-\dim \mathrm{Ker}\phi =\dim U$。再对 $\phi$ 在 $W$ 上的限制用线性映射的维数公式可知，它必是单映射，于是 $\phi$ 在 $W$ 上的限制是 $W$ 到 $U$ 上的线性同构。$\square$