例 4.36

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• 无显式依赖

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• 例 7.42
• 例 7.92

例 4.36

设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明以下 9 个结论等价：

$$\begin{array}{ll}(1)& V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi ;\\ (2)& V=\mathrm{Ker}\phi +\mathrm{Im}\phi ;\\ (3)& \mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi =0;\\ (4)& \mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Ker}{\phi }^2,\text{或等价地，}\dim \mathrm{Ker}\phi =\dim \mathrm{Ker}{\phi }^2;\\ (5)& \mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Ker}{\phi }^2=\mathrm{Ker}{\phi }^3=\cdots ,\text{或等价地，}\\ & \dim \mathrm{Ker}\phi =\dim \mathrm{Ker}{\phi }^2=\dim \mathrm{Ker}{\phi }^3=\cdots ;\\ (6)& \mathrm{Im}\phi =\mathrm{Im}{\phi }^2,\text{或等价地，}r(\phi )=r({\phi }^2);\\ (7)& \mathrm{Im}\phi =\mathrm{Im}{\phi }^2=\mathrm{Im}{\phi }^3=\cdots ,\text{或等价地，}\\ & r(\phi )=r({\phi }^2)=r({\phi }^3)=\cdots ;\\ (8)& \mathrm{Ker}\phi \text{存在}\phi \text{-不变补空间，即存在}\phi \text{-不变子空间 }U,\\ & \text{使得 }V=\mathrm{Ker}\phi \oplus U;\\ (9)& \mathrm{Im}\phi \text{存在}\phi \text{-不变补空间，即存在}\phi \text{-不变子空间 }W,\\ & \text{使得 }V=\mathrm{Im}\phi \oplus W.\end{array}$$

解答

证明 由直和的定义可知 $(1)\iff (2)+(3)$，于是 $(1)\Rightarrow (2)$ 和 $(1)\Rightarrow (3)$ 都是显然的。根据交和空间维数公式和线性映射维数公式可知

$$\dim (\mathrm{Ker}\phi +\mathrm{Im}\phi )=\dim \mathrm{Ker}\phi +\dim \mathrm{Im}\phi -\dim (\mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi )$$ $$=\dim V-\dim (\mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi ),$$

于是 $(2)\iff (3)$ 成立，从而前 3 个结论两两等价。

$(3)\Rightarrow (4)$：显然 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}{\phi }^2$ 成立。任取 $\alpha \in \mathrm{Ker}{\phi }^2$，则 $\phi (\alpha )\in \mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi =0$，于是 $\phi (\alpha )=0$，即 $\alpha \in \mathrm{Ker}\phi$，从而 $\mathrm{Ker}{\phi }^2\subseteq \mathrm{Ker}\phi$ 也成立，故 $(4)$ 成立。

$(4)\Rightarrow (3)$：任取 $\alpha \in \mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi$，则存在 $\beta \in V$，使得 $\alpha =\phi (\beta )$，于是 $0=\phi (\alpha )={\phi }^2(\beta )$，即 $\beta \in \mathrm{Ker}{\phi }^2=\mathrm{Ker}\phi$，从而 $\alpha =\phi (\beta )=0$，即 $(3)$ 成立。

$(5)\Rightarrow (4)$ 是显然的，下证 $(4)\Rightarrow (5)$：设 $\mathrm{Ker}{\phi }^k=\mathrm{Ker}{\phi }^{k+1}$ 已对正整数 $k$ 成立，先证 $\mathrm{Ker}{\phi }^{k+1}=\mathrm{Ker}{\phi }^{k+2}$ 也成立，然后用归纳法即得结论。$\mathrm{Ker}{\phi }^{k+1}\subseteq \mathrm{Ker}{\phi }^{k+2}$ 是显然的。任取 $\alpha \in \mathrm{Ker}{\phi }^{k+2}$，即 $0={\phi }^{k+2}(\alpha )={\phi }^{k+1}(\phi (\alpha ))$，于是 $\phi (\alpha )\in \mathrm{Ker}{\phi }^{k+1}=\mathrm{Ker}{\phi }^k$，从而 ${\phi }^{k+1}(\alpha )={\phi }^k(\phi (\alpha ))=0$，即 $\alpha \in \mathrm{Ker}{\phi }^{k+1}$，于是 $\mathrm{Ker}{\phi }^{k+2}\subseteq \mathrm{Ker}{\phi }^{k+1}$ 也成立。

$(3)\iff (6)$：考虑 $\phi$ 在不变子空间 $\mathrm{Im}\phi$ 上的限制变换 $\phi {|}_{\mathrm{Im}\phi }:\mathrm{Im}\phi \to \mathrm{Im}\phi$，由限制的定义可知它的核等于 $\mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi$，它的像等于 $\mathrm{Im}{\phi }^2$。由于有限维线性空间上的线性变换是单射当且仅当它是满射，当且仅当它是同构，故 $(3)\iff (6)$ 成立。

$(7)\Rightarrow (6)$ 是显然的，下证 $(6)\Rightarrow (7)$：设 $\mathrm{Im}{\phi }^k=\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}$ 已对正整数 $k$ 成立，先证 $\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}=\mathrm{Im}{\phi }^{k+2}$ 也成立，然后用归纳法即得结论。$\mathrm{Im}{\phi }^{k+2}\subseteq \mathrm{Im}{\phi }^{k+1}$ 是显然的。任取 $\alpha \in \mathrm{Im}{\phi }^{k+1}$，即存在 $\beta \in V$，使得 $\alpha ={\phi }^{k+1}(\beta )$。由于 ${\phi }^k(\beta )\in \mathrm{Im}{\phi }^k=\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}$，故存在 $\gamma \in V$，使得 ${\phi }^k(\beta )={\phi }^{k+1}(\gamma )$，于是

$$\alpha ={\phi }^{k+1}(\beta )=\phi ({\phi }^k(\beta ))=\phi ({\phi }^{k+1}(\gamma ))={\phi }^{k+2}(\gamma )\in \mathrm{Im}{\phi }^{k+2},$$

从而 $\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}\subseteq \mathrm{Im}{\phi }^{k+2}$ 也成立。

$(1)\Rightarrow (8)$ 是显然的，下证 $(8)\Rightarrow (1)$。我们先证 $\mathrm{Im}\phi \subseteq U$：任取 $\phi (v)\in \mathrm{Im}\phi$，由直和分解可设 $v=v_1+u$，其中 $v_1\in \mathrm{Ker}\phi ,u\in U$，则由 $U$ 的 $\phi$-不变性可得 $\phi (v)=\phi (v_1)+\phi (u)=\phi (u)\in U$。考虑不等式

$$\dim V=\dim (\mathrm{Ker}\phi \oplus U)=\dim \mathrm{Ker}\phi +\dim U\ge \dim \mathrm{Ker}\phi +\dim \mathrm{Im}\phi =\dim V,$$

从而只能是 $U=\mathrm{Im}\phi$，于是 $(1)$ 成立。

$(1)\Rightarrow (9)$ 是显然的，下证 $(9)\Rightarrow (1)$。我们先证 $W\subseteq \mathrm{Ker}\phi$：任取 $w\in W$，则由 $W$ 的 $\phi$-不变性可得 $\phi (w)\in \mathrm{Im}\phi \cap W=0$，即有 $w\in \mathrm{Ker}\phi$。考虑不等式

$$\dim V=\dim (\mathrm{Im}\phi \oplus W)=\dim \mathrm{Im}\phi +\dim W\le \dim \mathrm{Im}\phi +\dim \mathrm{Ker}\phi =\dim V,$$

从而只能是 $W=\mathrm{Ker}\phi$，于是 $(1)$ 成立。$\square$