例 4.33

依赖于

• 例 4.32

被以下题目直接调用

• 无

例 4.33

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，${\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_k$ 是 $V$ 上互不相同的线性变换。求证：存在 $\alpha \in V$，使得 ${\phi }_1(\alpha ),{\phi }_2(\alpha ),\cdots ,{\phi }_k(\alpha )$ 互不相同。

解答

证明 令 ${\phi }_{ij}={\phi }_i-{\phi }_j(1\le i<j\le k)$，则 ${\phi }_{ij}$ 是 $V$ 上的非零线性变换。由例 4.32 可知，存在 $\alpha \in V$，使得 ${\phi }_{ij}(\alpha )\ne 0$，即 ${\phi }_i(\alpha )\ne {\phi }_j(\alpha )(1\le i<j\le k)$，从而结论得证。$\square$