例 4.32

依赖于

• 例 3.54

被以下题目直接调用

• 例 4.33

例 4.32

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，${\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_k$ 是 $V$ 上的非零线性变换。求证：存在 $\alpha \in V$，使得 ${\phi }_i(\alpha )\ne 0(1\le i\le k)$。

解答

证明 因为 ${\phi }_i\ne 0$，所以 $\mathrm{Ker}{\phi }_i$ 是 $V$ 的真子空间。由例 3.54 可知，有限个真子空间 $\mathrm{Ker}{\phi }_i$ 不能覆盖全空间 $V$，故必存在 $\alpha \in V$，使得 $\alpha$ 不属于任意一个 $\mathrm{Ker}{\phi }_i$，从而结论得证。$\square$