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第 4 章解答题 14

例 4.27

设 $A, B$ 都是数域 $F$ 上的 $m \times n$ 矩阵，求证：方程组 $A x = 0, B x = 0$ 同解的充要条件是存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $B = P A$ 。

解答

证明因为 $P$ 是可逆矩阵，充分性是显然的。现通过两种方法来证明必要性。

\par代数方法由条件可得方程组 $A x = 0, B x = 0, (B A) x = 0$ 都同解，从而有

r (A) = r (B) = r (B A) .

注意到结论 $B = P A$ 就是说 $A, B$ 可以通过初等行变换相互转化，因此在证明的过程中，对 $A$ 或 $B$ 实施初等行变换不影响结论的证明。设

A = α_{1} α_{2} ⋮ α_{m}, B = β_{1} β_{2} ⋮ β_{m}

分别为 $A, B$ 的行分块。不妨对 $A, B$ 都进行行对换，故可设 $α_{1}, \dots, α_{r}$ 是 $A$ 的行向量的极大无关组， $β_{1}, \dots, β_{r}$ 是 $B$ 的行向量的极大无关组。由于 $r (B A) = r$ ，故由例 3.20 可知， $α_{1}, \dots, α_{r}$ 和 $β_{1}, \dots, β_{r}$ 是向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 的两组极大无关组。设

β_{i} = j = 1 \sum r c_{ij} α_{j} (1 \leq i \leq r),

则容易验证 $r$ 阶方阵 $C = (c_{ij})$ 是非异阵。设

β_{i} - α_{i} = j = 1 \sum r d_{ij} α_{j} (r + 1 \leq i \leq m),

$D = (d_{ij})$ 是 $(m - r) \times r$ 矩阵，则容易验证

P = (C D O I_{m - r})

是 $m$ 阶非异阵，并且满足 $B = P A$ 。

\par几何方法将问题转化成几何的语言即为：设 $V$ 是 $F$ 上的 $n$ 维线性空间， $U$ 是 $F$ 上的 $m$ 维线性空间， $φ, ψ : V \to U$ 是两个线性映射。求证：若 $Ker φ = Ker ψ$ ，则存在 $U$ 上的自同构 $σ$ ，使得 $ψ = σ φ$ 。

设 $r (φ) = r$ ，则 $dim Ker φ = dim Ker ψ = n - r$ 。取 $Ker φ = Ker ψ$ 的一组基 $e_{r + 1}, \dots, e_{n}$ ，并将其扩张为 $V$ 的一组基 $e_{1}, \dots, e_{r}, e_{r + 1}, \dots, e_{n}$ 。根据例 4.23 的证明可知， $φ (e_{1}), \dots, φ (e_{r})$ 是 $Im φ$ 的一组基，故可将其扩张为 $U$ 的一组基

φ (e_{1}), \dots, φ (e_{r}), f_{r + 1}, \dots, f_{m} .

同理可知， $ψ (e_{1}), \dots, ψ (e_{r})$ 是 $Im ψ$ 的一组基，故可将其扩张为 $U$ 的一组基

ψ (e_{1}), \dots, ψ (e_{r}), g_{r + 1}, \dots, g_{m} .

定义 $U$ 上的线性变换 $σ$ 如下：

σ (φ (e_{i})) = ψ (e_{i}), 1 \leq i \leq r; σ (f_{j}) = g_{j}, r + 1 \leq j \leq m .

因为 $σ$ 把 $U$ 的一组基映射为 $U$ 的另一组基，故 $σ$ 是 $U$ 的自同构。又对 $r + 1 \leq j \leq n$ ， $σ (φ (e_{j})) = 0 = ψ (e_{j})$ ，故 $σ φ = ψ$ 成立。 $□$

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