例 4.25

依赖于

• 例 3.89

被以下题目直接调用

• 无

例 4.25

设 $\phi :V\to U$ 为线性映射且 $\phi$ 的秩为 $r$，证明：存在 $r$ 个秩为 1 的线性映射 ${\phi }_i:V\to U(1\le i\le r)$，使得 $\phi ={\phi }_1+\cdots +{\phi }_r$。

解答

证明 取定 $V$ 和 $U$ 的两组基，设 $\phi$ 在这两组基下的表示矩阵为 $A$，则 $r(A)=r(\phi )=r$。由例 3.89 可知，存在 $r$ 个秩为 1 的矩阵 $A_i(1\le i\le r)$，使得 $A=A_1+\cdots +A_r$。由于线性映射和表示矩阵之间一一对应，故存在有线性映射 ${\phi }_i:V\to U(1\le i\le r)$，使得 $\phi ={\phi }_1+\cdots +{\phi }_r$，且 $r({\phi }_i)=r(A_i)=1$。$\square$