例 4.2

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.138

例 4.2

设线性空间 $V=V_1\oplus V_2$，并且 ${\phi }_1$ 及 ${\phi }_2$ 分别是 $V_1,V_2$ 到 $U$ 的线性映射，求证：存在唯一的从 $V$ 到 $U$ 的线性映射 $\phi$，当 $\phi$ 限制在 $V_i$ 上时等于 ${\phi }_i$。

解答

证明 因为 $V=V_1\oplus V_2$，故对任意的 $\alpha \in V$，$\alpha$ 可唯一地写为 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$，其中 ${\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_2\in V_2$。令

$$\phi (\alpha )={\phi }_1({\alpha }_1)+{\phi }_2({\alpha }_2),$$

则 $\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的映射。不难验证 $\phi$ 保持加法和数乘，因此 $\phi$ 是线性映射。若另有线性映射 $\psi$，它在 $V_i$ 上的限制等于 ${\phi }_i$，则

$$\psi (\alpha )=\psi ({\alpha }_1)+\psi ({\alpha }_2)={\phi }_1({\alpha }_1)+{\phi }_2({\alpha }_2)=\phi (\alpha ).$$

因此 $\psi =\phi$，唯一性得证。$\square$