例 4.10

依赖于

• 例 1.30

被以下题目直接调用

• 无

例 4.10

设 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 是数域 $F$ 中 $n+1$ 个不同的数，$V$ 是 $F$ 上次数不超过 $n$ 的多项式全体组成的线性空间。设 $\phi$ 是 $V$ 到 $n+1$ 维行向量空间 $U$ 的映射：

$$\phi (f)=(f(a_0),f(a_1),\cdots ,f(a_n)),$$

求证：$\phi$ 是线性同构。

解答

证明 不难验证 $\phi$ 是一个线性映射。若 $f(x)\in \mathrm{Ker}\phi$，则 $f(a_i)=0(0\le i\le n)$。因为 $f(x)$ 的次数不超过 $n$，故由例 1.30 可知 $f(x)=0$，即 $\mathrm{Ker}\phi =0$，这证明了映射 $\phi$ 是单映射。注意到线性空间 $V$ 和 $U$ 的维数都等于 $n+1$，因此 $\phi$ 是线性同构。$\square$