问题 2022A11

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• 例 3.93

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• 无

问题 2022A11

设 A, B, C 分别是数域 K 上的 $m\times n$ , $p\times q$ , $m\times q$ 矩阵, 使得矩阵方程 AY = C 和 ZB = C 都有解, 证明: 矩阵方程 AXB = C 也有解, 其中 X, Y, Z 分别是 $n\times p$ , $n\times q$ , $m\times p$ 未定元矩阵.

解答

任取矩阵方程 $AY=C$ 的解 $Y_0$ , 矩阵方程 $ZB=C$ 的解 $Z_0$ . 由例 3.93 可知, 存在 $q\times m$ 矩阵 $T$ , 使得 $CTC=C$ . 令矩阵 $X_0=Y_{0}T{Z}_0$ , 则

$$\mathbf{A}{\mathbf{X}}_0\mathbf{B}=(\mathbf{A}{\mathbf{Y}}_0)\mathbf{T}({\mathbf{Z}}_0\mathbf{B})=\mathbf{C}\mathbf{T}\mathbf{C}=\mathbf{C}.$$