问题 2015A07

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• 15 级高代 I 期中 07

问题 2015A07

设 V 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间, 满足 V 中所有的非零矩阵都是非异阵, 证明: ${\dim }_{\mathbb{K}}V\le n$ .

解答

设 U 是由第一行元素全为零的 n 阶矩阵构成的子空间, 则 U 中所有的矩阵都是奇异阵, 并且 $\dim U=n^2-n$ . 因为 V 中所有的非零矩阵都是非异阵, 故 $U\cap V=0$ , 于是 $U+V=U\oplus V$ 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间. 特别地, 由 $\dim U+\dim V=\dim (U\oplus V)\le n^2$ 可得 $\dim V\le n$.