例 3.93

依赖于

例 3.93

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，证明：存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得
$A B A = A .$

证法 1 设

P A Q = (I_{r} O O O),

其中 $P$ 是 $m$ 阶非异阵， $Q$ 是 $n$ 阶非异阵。注意到问题的条件和结论在相抵变换：

A \mapsto P A Q, B \mapsto Q^{- 1} B P^{- 1}

下保持不变，故不妨从一开始就假设

A = (I_{r} O O O)

是相抵标准型。设

B = (B_{1} B_{3} B_{2} B_{4})

为对应的分块，由 $A B A = A$ 可得 $B_{1} = I_{r}$ ，其余分块取法任意。

证法 2 设 $A = C D$ 为 $A$ 的满秩分解， $E$ 为列满秩阵 $C$ 的左逆， $F$ 是行满秩阵 $D$ 的右逆。令 $B = F E$ ，则

A B A = (C D) (F E) (C D) = C (D F) (E C) D = C D = A .