例 3.112

依赖于

• 例 3.110

被以下题目直接调用

• 例 3.113

例 3.112

证明：通过平面内不在一条直线上的 3 点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ 的圆方程为

$$\left|\begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\\ x_1^2+y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2& 1\\ x_3^2+y_3^2& x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0.$$

解答

证明 圆方程可设为

$$u_1(x^2+y^2)+u_{2}x+u_{3}y+u_4=0,$$

于是得到未知数 $u_1,u_2,u_3,u_4$ 的方程组为

$$\{\begin{array}{rcl}(x_1^2+y_1^2)u_1+x_1{u}_2+y_1{u}_3+u_4& =& 0,\\ (x_2^2+y_2^2)u_1+x_2{u}_2+y_2{u}_3+u_4& =& 0,\\ (x_3^2+y_3^2)u_1+x_3{u}_2+y_3{u}_3+u_4& =& 0.\end{array}$$

上述方程组加上原方程组成一个含 4 个未知数、4 个方程式的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\\ x_1^2+y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2& 1\\ x_3^2+y_3^2& x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0.$$

由例 3.110 可知 3 点不在一条直线上意味着

$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|\ne 0,$$

故圆方程不退化。$\square$