例 3.107

依赖于

• 例 3.105

被以下题目直接调用

• 无

例 3.107

设 $A,B$ 为 $m\times n$ 和 $n\times p$ 矩阵，证明：存在 $p\times n$ 矩阵 $C$，使得 $ABC=A$ 的充要条件是 $r(A)=r(AB)$。

解答

证明 必要性由秩的不等式

$$r(A)\ge r(AB)\ge r(ABC)=r(A)$$

即得。充分性由例 3.105 以及秩的不等式

$$r(AB)\le r(AB:A)=r(A(B:I_n))\le r(A)$$

即得。$\square$