例 3.105

依赖于

• 例 3.20

被以下题目直接调用

• 例 3.107
• 例 6.47

例 3.105

设 $A,B$ 为 $m\times n$ 和 $m\times p$ 矩阵，$X$ 为 $n\times p$ 未知矩阵，证明：矩阵方程 $AX=B$ 有解的充要条件是 $r(A:B)=r(A)$。

解答

证明 设 $A=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$，$B=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_p)$，$X=(x_1,\cdots ,x_p)$ 为对应的列分块。设 $r(A)=r$ 且 ${\alpha }_{i_1},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组。注意到矩阵方程 $AX=B$ 有解当且仅当 $p$ 个线性方程组 $A{x}_i={\beta }_i(1\le i\le p)$ 都有解。因此，若 $AX=B$ 有解，则每个 ${\beta }_i$ 都是 $A$ 的列向量的线性组合，从而是 ${\alpha }_{i_1},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 的线性组合，于是 ${\alpha }_{i_1},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 是 $(A:B)$ 的列向量的极大无关组，故 $r(A:B)=r$。反之，若 $r(A:B)=r$，则由例 3.20 可知，${\alpha }_{i_1},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 是 $(A:B)$ 的列向量的极大无关组，于是每个 ${\beta }_i$ 都是 $A$ 的列向量的线性组合，从而 $AX=B$ 有解。$\square$